复变函数论 Functions of Complex Variables

教材: 扈培础 编著, 复变函数教程, 科学出版社, 2008.

参考教材: 1, 方企勤 编著, 复变函数教程, 北京大学出版社, 2001.

         2, 龚昇 编著, 简明复分析, 中国科技大学出版社, 2009.

         3, E. M. Stein and R. Shakarch, Complex analysis, Pricnceton             University press, 2003.

         4, E. C. Titchmarsh, The theory of functions, Oxford University             Press, 1952. (有中译本)

         5, 钟玉泉 编, 复变函数论, 第三版, 高等教育出版社, 2006.

成绩: 考勤 10%, 作业 20%, 期末成绩 70%.

时间及地点: 周二5-7节, 综合科研楼 B105.

总学时: 48学时.

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1, 预备知识

9/7, 复数的表示及复平面的拓扑: 复数的基本性质, 三角, 代数, 指数和球面表示, 开集, 连通性, 完备性等. 作业: p3, 4; p5, 2,3; p10, 6; p13, 2.

2, 复变函数的微分

9/14, 复变函数: 极限, 连续性, 导数的基本定义以及例子. 作业: p26, 1; p44, 5.

9/21, Cauchy-Riemann方程: 可导的必要条件, 充要条件, 充分条件; 微分的定义, 可导与可微; 解析(全纯, 正则)函数的定义, 充要条件和充分条件. 作业: p53, 2; 补充作业.

9/28, 导数的运算法则, 导数的几何意义, 简单曲线, 保角变换, 共形映射和黎曼映射定理(不证明). p75, 1; p77, 4; 补充作业.

10/12, 初等解析函数和初等多值函数: 单叶函数及其单叶区域; 指数函数, 三角函数, 幅角函数, 对数函数和幂函数等的定义, 性质及其计算. 作业: p40, 5; p70, 1; 补充作业.

3, 复变函数的积分

10/19, 复变函数的积分: 积分的定义, 参数方程法计算以及复积分的基本性质. 作业: p58, 3, 4; p60, 1; 补充作业.

10/26, Cauchy-Goursat积分定理: 公式的证明, 单连通, 多连通情形; 原函数, 变上限积分函数, Newton-Leibniz公式. 作业: p80; 补充作业.

11/2, Cauchy积分公式及其推论: Cauchy导数公式, 解析函数的无穷可微性, Cauchy不等式, Liouville定理, 代数基本定理和Morera定理等. 作业: p83, 1, 3; p90, 1; 补充作业.

11/9, 解析函数平均值公式, 最大模原理和Schwartz引理和调和函数的基本性质(和解析函数的关系, 平均值性质, 最大模原理等). 作业: p103, 1; 补充作业.

11/16, 习题课: 讲解本章所布置的所有作业题.

4, 复变函数的级数理论

11/23, 函数项级数(Weierstrass M-test, Weierstrass定理); Dirichlet级数(收敛横坐标, 收敛域, Landau引理); 幂级数(Abel定理, 收敛半径); Taylor级数(Taylor定理, 解析函数的充要条件(6种), 展成Taylor级数). 补充作业.

11/30, 零点的孤立性与唯一性; Laurent级数, 孤立奇点(可去奇点, 极点, 本性奇点)的分类和判定方法. 补充作业

12/7, 留数的定义和计算, 留数定理和利用留数定理计算复积分和实积分. 补充作业

12/14, 对数导数的积分, 辐角原理和Rouche定理; 开映射定理和保域性定理. 补充作业

5, 整函数和亚纯函数理论

12/21, 整函数, 亚纯函数和整函数的Weierstrass因子分解定理.

6, 复分析理论在数论中的应用

12/28, Riemann zeta函数, 黎曼猜想和素数定理, 椭圆模函数和自守函数.

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复变函数期末考试试题

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