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Functional Analysis

教材: 江泽坚, 孙善利 编著, 泛函分析, 高等教育出版社, 2009.

参考教材: 1, 胡适耕 编著, 泛函分析, 高教&Springer, 2009.
          2, 孙永生, 王昆扬 编著, 泛函分析讲义, 北京师范大学出版社, 2007.
          3,
夏道行 等 编著, 实变函数与泛函分析, 高教, 2010.
          4, E. Kreyszig, Introductory to Funtional Anaysis with Applications, Wiley, 2007.

          5, W. Rudin, Functional Analysis, Senond Edition, China Machine Press, 2004.

          6,
B.P. Rynne, M.A. Youngson, Linear Functional Analysis, SUMS, Springer, 2006.

成绩: 考勤10%, 作业20%, 期末考试70%

时间及地点: 周一 1-2, 周三 3-4; 理综楼 111

先修课程: 高等代数, 实变函数

总学时: 64学时

助教: 王玉超, 娄振洛, 张萌

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一: 抽象空间理论: 距离空间, 赋范线性空间, 内积空间

1, 距离空间

9/5, §1.1, 基本概念: 泛函分析研究的问题和方法: 用代数和几何的观点和方法研究无穷维空间上的分析; 距离空间,线性距离空间的基本概念, 性质和例子: C[a,b], \ell^{p}, L^p(E), L^{\infty}(E)... 作业: p43, 2,3.

9/7, 几个重要的不等式: Young, Holder, Minkowski不等式; §1.2, 拓扑: 距离空间中的点集和拓扑, 稠密集, 可分性. 作业: p43, 4,5,7.

9/14, L^p是可分的, 连续映射; §1.3, 完备化: Cauchy序列, 等距同构, 距离空间的完备化, L^p是完备的, 不完备空间的例子: 作业: p44, 8,9.

9/19, §1.4, 列紧性: 1, 列紧, 自列紧, 全有界是有界可分的, 全有界当且仅当任何序列有Cauchy子列, 全有界集与列紧集的关系(Hausdorff). 作业: p44, 14,15.

9/21, 2, 紧与自列紧等价, 紧集的性质, 连续函数在紧集上的性质; 3, 具体距离空间的列紧性的判断方法: C[a,b], Arzela-Ascoli定理,L^p[a,b], Riesz定理等. 作业: p44, 16,19.

9/26, §1.5, 不动点定理: 压缩映像原理(Banach不动点定理)及其应用. 作业: p46, 28,29.

2, 赋范空间

9/28, §2.1, 基本概念: 赋范空间, Banach空间; 无穷级数收敛, 绝对收敛; 线性算子(泛函), 有界可逆算子, 线性算子连续的等价命题; 范数等价; 商空间. 作业: p44, 23,25,26,27.

10/8, §2.2, 有限维赋范空间: 1, 维数相同同胚, 完备的, 任范数等价, 有界与列紧等价(有界闭与紧等价); 2, Riesz Lemma, 有限维=有界闭是紧的=单位球是紧的=单位球面是紧的. 作业: p44, 11,24.

3, 内积空间

10/10, §3.1, 基本概念: 内积空间, Hilbert空间, 正规正交基, 诱导范数, Schwarz不等式, 内积连续, 极化恒等式, 平行四边形法则(赋范空间为内积空间的充要条件), 例子. 作业: p70, 1,5,6.

10/12, §3.2, 正规正交基: 1, 正交系, 正规(标准)正交系, Schmidt正规正交化方法, 最小二乘法原理, Bessel不等式; 2, 标准正交基的充要条件: Fourier级数展式=基本集=极大正交系=Parseval等式, Riesz-Fischer定理, 例子L^2[a,b]; 3, 正规(标准)正交基存在性, 可分Hilbert空间的等距线性同构. 作业: p71, 2,3,4.

10/17, §3.3, 射影定理, Riesz表示定理: 1, 正交补, 射影定理(正交分解定理), Riesz表示定理; 2, Hilbert空间的共轭空间(对偶空间), 自共轭性:H*=H. 作业: p71, 9,10,11.

二: 算子理论: 三大定理, 共轭空间, 弱收敛

4, 线性算子

10/19, §4.1, 有界线性算子的基本性质: 1, 有界线性算子空间L(X,Y)为赋范空间, 算子代数; 2, 算子的逆, Von Neumman级数, 有界可逆算子的条件, 有界可逆元集合为开集. 作业: p142, 2,3,4,6. 补充作业

10/24, §4.2, 共鸣定理: 1, 第一纲, 第二纲集, Baire纲定理, 2, 共鸣定理(一致有界定理, Banach-Steinhaus定理); 3, 应用: 连续函数的Fourier级数的发散问题. 作业: p143, 17. 补充作业

10/26, §4.3, 开映射定理: 开映射定理, 逆算子定理(Banach's Isomorphism Thm). 作业: 补充作业.

10/31, §4.4, 闭算子和闭图像定理: 乘积赋范空间, 闭算子, 闭图像定理, Hellinger-Toeplitz定理. 作业: p143, 13,14,15,补充作业.

5, 线性泛函

11/2, §5.1, Hahn-Banach定理: Banach实扩张定理, Banach复扩张定理, Hahn-Banach定理(保范延拓定理): 分析形式, 几何形式. 作业: p143, 7,8,9.

11/7, §5.2, 共轭空间: 1, 具体空间的共轭空间(对偶空间)例子: 有限维, C[a,b], L^p[a,b], \ell^p, H. 作业p144, 12.

11/9, 2, 二次对偶空间, 自反空间: 有限维, L^p(p>1), \ell^p(p>1), H. 作业: p144, 18,19.

11/14, §5.3, 伴随算子: 1, Hilbert空间上的伴随算子(共轭算子,对偶算子)的性质, 零空间, 值域; 2, 共轭双线性泛函, 有界共轭双线性泛函的范数, Lax-Milgram定理. 作业: p72, 14,15.

11/16, 3, Hilbert空间上的正规算子, 自伴算子, 酉算子, 正投影算子的定义和等价条件; 4, Banach空间上的伴随算子, 以及与Hilbert空间上的伴随算子的关系. 作业: p144, 20, 21.

11/21, 5, 零化子, 算子的值域, 满射定理. §5.4, 弱收敛: 1, 元素的强收敛, 弱收敛, 泛函的弱*收敛. 作业: p144, 23,24.

11/23, 2, 弱列紧性, 弱*列紧性; 3, 算子的一致收敛, 强收敛, 弱收敛. 作业: p144, 25,26,27.

11/28, 习题课: 讲解前三章的任何作业题.

三: 谱理论: 线性算子的谱理论及其应用

6, 谱理论

11/30, §6.1, 有界线性算子的谱: 1, 基本概念: 预解集, 点谱, 连续谱, 剩余谱, 谱; 2, 算子解析函数, 有界线性算子的谱集是有界的, 闭的, 非空的(Gelfand-Mazur). 作业: p203, 2,3.

12/5, 3, 谱半径公式(Gelfand); 4, 求谱集并判别谱类的例子. 作业: p203, 5,6, 补充作业.

12/7, §6.2, 紧线性算子: 1, 基本概念和例子: 紧算子, 有限秩算子定义, 例子. 2, 紧线性算子的性质: 紧线性算子空间是闭子空间, 双边理想, 共轭算子是紧的, 弱收敛变强收敛, 可有限秩逼近. 作业: p203, 8,9.

12/12, 3, Hilbert-Schimdt算子: 定义, 性质以及例子:Hilbert-Schimdt积分算子. §6.3, 紧线性算子的谱理论(Riesz-Schauder理论): 1, 点谱: 至多可数集, 只有0为可能的聚点. 作业: p204, 13, 补充作业.

12/14, 2, 零空間和像空間的结构: (λ≠0) λI-T的零空间为有限维, λI-T像空间为闭子空, λI-T是单的=λI-T为满的=λ属于正则集; 3, 连续谱和剩余谱: 非零的连续谱为空集, 非零的剩余谱为空集. 作业: p204, 12,15.

12/19, 4, Fredholm 积分方程: Fredholm alternative theorem, 交替定理. §6.4, 有界自伴算子的谱: 1, 有界自伴算子的性质: 特征值是实的, 不同特征值的特征元正交, 谱半径为算子范数, 剩余谱为空集, 谱为实, 谱的分布. 作业: p204, 20,21.

12/21, 2, 紧自伴算子的谱理论: 有非零的特征值, 谱分解定理, Hilbert—Schmidt展开定理, 极大极小原理. 作业: p205, 23,24.

12/26, 习题课: 讲解第三,四章课后作业

12/28, 自行复习

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泛函分析学习资料

泛函分析期末考试试题

Functional analysis is described as one of the most beautiful as well as useful branches of mathematics dealing with infinite dimensional vector spaces and linear maps between them. And it has become the language of much of modern mathematics. Have fun! I'm going to enjoy it, and I hope you do too.

ALL ARE WELCOME!

 
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