实变函数论 Functions of a Real Variable
教材: 江泽坚, 吴智泉 & 纪友清 编著, 实变函数论, 高等教育出版社, 第三版, 2007.
参考教材: 1, 程其襄, 张奠宙等编, 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社, 2010.
2, 胡适耕 编著, 实变函数, 高等教育出版社 & Springer, 2010.
3, C. E. Silva, Invitation to Ergodic Theory, Student Mathematical Library Vol 42, AMS, 2007.
4, E. M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005.
5, 刘培德 编著, 实变函数教程, 科学出版社, 2007.
6, 周民强 编著, 实变函数论(第二版), 北京大学出版社, 2010.
成绩: 考勤10%, 作业20%, 期末考试70%.
时间及地点: 周一3-4节, 周四3-4节; 理综楼513.
总学时: 62学时.
助教:
张元恺 李彤
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1, 集合
2/21, 微积分简史:17th创立, 18th发展, 19th严格化; 微积分进一步发展: 复数域上微积分--复分析, Riemann积分的局限--Lebegue积分理论, 高维和外微分形式--流形上的微积分; 集合及其运算: 并集, 交集, 差集, 补(余)集和对称差集; 交和并的交换律, 结合律和分配律, 差和补集的De Morgan公式; 集合列的上极限和下极限; 集合的乘积. 作业: p10, 4, 6, 7, 8.
2/24, 映射和集合的基数: 映射, 单射满射双射复合映射; 集合的对等, 基数(势), Cantor定理, Bernstein定理. 作业: p17, 2, 3.
2/28, 可数集合, 不可数集合, 连续统势. 作业: p21, 3, 4, 5; p24, 2, 4, 5. 补充作业
2, 点集
3/3, 度量空间, n维欧式空间, 领域的定义, 点列的收敛, 点集的距离, R^n中的区间; 内点 边界点, 外点, 聚点以及孤立点之间的关系; 聚点的判定; 开核, 导集, 边界以及闭包. 作业: p29, 2, 3, 4.
3/7, 开集, 闭集, 紧集, 自密集与完备集, Cantor集及其性质. 作业: p35, 2, 12; 补充作业
3/10, 连续函数, 紧集定义, Cauchy序列; Cauchy收敛定理, 有限覆盖定理, 闭集套定理, Bolzano-Weierstrass定理和欧式空间有界闭集与紧集等价等定理. p35, 4, 5, 补充作业
3/14, 一维和n维开集闭集的构造; 点集之间的距离. 作业: p45, 2, 3; 补充作业
3/17, 习题课: 前两章所有课后作业和补充作业.
3, Lebesgue测度
3/21, n维欧式空间中的区间和开集的体积的定义以及开集体积的性质: 非负性, 单调性, 可数可加性和正则性等. 作业: p53, 1, 2, 3.
3/24, Lebesgue外测度的定义和性质: 非负性, 单调性, 次可数可加性和正则性等; 可测集的定义, Caratheodory条件, (I)可测集的性质: 对补, (有限或可数)并, (有限或可数)交, 差等运算封闭. 作业: p57, 1, 4, 6, 7. 补充作业
3/28, (I)可测集的可数并, 可数可加性, 单调可测集合序列对极限运算封闭; (II)可测集类: 零测集, 区间, 开集, 闭集, G型和F型集, Borel集和sigma代数. 作业: p68, 2, 3, 4, 5.
3/31, (III)可测集的n个等价定义; (IV)不可测集的例子. 作业: p68, 8, 9, 11, 13. 补充作业
4/7, 乘积空间, 抽象测度.
4, 可测函数
4/11, 可测函数定义及其性质: 可测函数的数乘, 倒数, 绝对值, 平方, 和差和乘积为可测函数. 作业: p103, 2, 3, 4, 7.
4/14, 简单函数以及简单函数和可测函数的关系. 作业: p103, 8.
4/18, 可测函数几乎处处收敛,近一致收敛和依测度收敛的关系：Erogoff定理, 作业：p108, 1, 2, 3.
4/21, 可测函数几乎处处收敛,近一致收敛和依测度收敛的关系: Lebesgue定理, Riesz定理, 测度基本列. 作业： p117, 1, 2. 补充作业
4/25, 可测函数的构造: 可测函数和连续函数的关系, Lusin定理. 作业： p112, 1. 补充作业
4/28, 习题课: 三四章课后作业和补充作业.
5, Lebesgue积分
5/5, 回忆Riemann积分的两种等价定义, Lebesgue三种不同的等价定义; 非负简单函数的Lebesgue积分的定义和初等性质. 作业: p131, 1,2,4.
5/9, 非负可测函数的Lebesgue积分的定义和初等性质: Levi定理. 作业: p132, 6,8,12.
5/12, 非负可测函数的Lebesgue积分: 逐项积分定理, Fatou引理; 一般可测函数的Lebesgue积分的定义和初等性质. 作业: p132, 10,12; p150, 1,2. 补充作业
5/16, 三大等价的积分收敛定理: Levi定理(积分收敛的充分条件), Fatou引理, Lebesgue控制收敛定理(积分收敛的充分条件). 作业: p150, 4. 各种收敛关系图
5/19, 有限测度上积分收敛的充要条件: Vitali收敛定理; Lebesgue积分和Riemann积分的关系. 作业: p150, 8,10,13.
5/23, 截面定理, Lebesgue积分的几何意义: 非负可测函数的Lebesgue积分等于下方图形的测度. 作业: p159, 4,5.
5/26, Fubini定理, 积分计算. 作业:
6, 微分与不定积分
5/30, Vitali引理, 单调函数, 有界变差函数的定义和性质: 作业: p183, 1.
6/2, 绝对连续函数的定义, 性质. 作业: p183, 4,9.
6/9, 绝对连续函数的充要条件, 微积分基本定理.
7, L^p空间
6/13, L^p的范数, 距离的性质: 正定性对称性三角不等式, L^p收敛与依测度收敛的关系.
6/16, 复习总结: 一个中心: 创立一套新的积分理论, 克服了Riemann积分的某些局限性; 两个定义: 掌握测度和可测集的定义(区间的体积--开集的体积--任点集的外侧度--卡式条件可测集和测度), Lebesgue积分的定义(非负简单函数--非负函数--可测函数); 三个原理: Littlewood三个原理:可测集于区间的有限并差不多(可测集的等价定义), 可测函数与连续函数差不多(Egorov定理),可测函数几乎处处收敛与一致收敛差不多(Lusin定理); 四个积分收敛定理: Levi定理, Fatou引理, Lebesgue控制收敛定理和Vitali收敛定理; n种收敛的关系: 见各种收敛关系图; 最后是在L积分下的微分理论.
8, 遍历论初步
实变函数论学习资料
实变函数论期末考试试题
"...There are three principles, roughly expressible in the following terms: Every (measurable) set is nearly a finite sum of intervals; every function (of calss L^p) is nearly continuous; every convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent..."
--- --- Littlewood's three principles of real analysis
ALL ARE WELCOME!
